Bonjour pouvez vous m'aider pour cet exercice de maths on étudie la fonction f définie sur R par F x = x - 2 au carré 1- conjecturer le sens de variation de la

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Je vais supposer que c'est f(x)=(x-2)².

Donc f(x)=x²-4x+4

1)

Grâce à la calculatrice , on conjecture que :

f(x) est décroissante sur ]-inf;2] et croissante sur [2;+inf[

2)

f(b)=b²-4b+4

f(a)=a²-4a+4

f(b)-f(a)=b²-4b+4-(a²-4a+4)

f(b)-f(a)=b²-a²-4b+4a=b²-a²-4(b-a)

Or : b²-a²=(b+a)(b-a) ===>OK ??

f(b)-f(a)=(b+a)(b-a)-4(b-a)

Tu vois le facteur commun ?

f(b)-f(a)=(b-a)[(b+a)-4]

f(b)-f(a)=(b-a)(b+a-4)

3)

a)

Tu as oublié des mots !!

On suppose que a < b ≤ 2  . c'est ça ?

Comme a < b , alors (b-a) > 0. ( Car b est plus grand que a ).

b)

b ≤ 2

a < b

Donc a < 2.

On a :

a < 2

b ≤ 2

On ajoute membre à membre , ce qui donne :

a+b < 4

Donc :

a+b-4 < 0

Récapitulons :

Dans f(b)-f(a)=(b-a)(b+a-4) , le facteur (b-a) est positif et le facteur (a+b-4) est négatif.

Donc leur produit est négatif. OK ? Donc :

f(b)-f(a) < 0

Donc :

f(b) < f(a)

ou :

f(a) > f(b)

c)

Sur ]-inf;2] , on  est parti de a < b pour arriver à f(a) > f(b) , ce qui prouve que sur cet intervalle , la fct f(x) est décroissante.

4)

Cette question est incompréhensible !!

Je peux continuer et chercher le sens de variation sur [2;+inf[.

Soient : 2 ≤ a < b

On a toujours :

f(b)-f(a)=(b-a)(b+a-4)

Comme a < b , le facteur  (b-a) > 0.

a ≥ 2 (et b > a donc :)

b > 2

On ajoute membre à membre , ce qui donne :

a+b > 4

Donc :

a+b-4 > 0

Récapitulons :

Dans f(b)-f(a)=(b-a)(b+a-4) , le facteur (b-a) est positif et le facteur (a+b-4) est positif aussi.

Donc leur produit est positif. OK ? Donc :

f(b)-f(a) > 0

Donc :

f(b) > f(a)

ou

f(a) < f(b)

Sur [2;+inf[  , on  est parti de a < b pour arriver à f(a) < f(b) , ce qui prouve que sur cet intervalle , la fct f(x) est croissante.

5)

La fct f(x) admet un minimum pour x=2 qui vaut zéro.

Voir graph.