Bonjour pouvez vous m'aider s'il vous plaît sur cet exercice je dois le rendre dans quelques minutes, merci d'avance ! Soit f la fonction définie sur ]−4 ; + ∞[
Mathématiques
Saiiko780
Question
Bonjour pouvez vous m'aider s'il vous plaît sur cet exercice je dois le rendre dans quelques minutes, merci d'avance !
Soit f la fonction définie sur ]−4 ; + ∞[ par f(x) =x³−2/x+4
.
1) Montrer que pour tout x > −4, la dérivée de f vérifie f′(x) =2x³+12x²+2/(x+4)².
2) Pour tout x > −4, on pose g(x) = 2x³ + 12x² + 2.
Etudier les variations de g et en déduire que g admet un minimum sur ]−4 ; + ∞[.
3) Montrer que f est monotone sur ]−4 ; + ∞[.
Soit f la fonction définie sur ]−4 ; + ∞[ par f(x) =x³−2/x+4
.
1) Montrer que pour tout x > −4, la dérivée de f vérifie f′(x) =2x³+12x²+2/(x+4)².
2) Pour tout x > −4, on pose g(x) = 2x³ + 12x² + 2.
Etudier les variations de g et en déduire que g admet un minimum sur ]−4 ; + ∞[.
3) Montrer que f est monotone sur ]−4 ; + ∞[.
1 Réponse
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1. Réponse ecto220
Réponse :
Bonjour
1) f'(x) = (3x²(x + 4) - (x³-2))/(x + 4)²
f'(x) = (3x³ + 12x² - x³ + 2)/(x + 4)²
f'(x) = (2x³ + 12x² + 2)/(x + 4)²
2) g'(x) = 3x² + 24x
voir tableau de variation en pièce jointe
g a donc un minimum de 2, atteint pour x = 0 sur ]-4 ; +∞[
3) f'(x) = g(x)/(x + 4)²
g(x) > 0 et (x + 4)² > 0 donc f'(x) > 0
La fonction f est donc strictement croissante sur ]-4 ; +∞[
Donc g(x) > 0
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