Bonjour, après plusieurs tentatives je ne parviens pas à trouver les solutions de cette exercice. Si quelqu'un pourrait m'aider cela serait super sympa de sa pa

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour,

pour k réel non nul

[tex]f_k(x)=\frac{k}{3}x^3-kx^2+x-1[/tex]

1)

f est dérivable car c'est une fonction polynomiale

et pour tout réel x

[tex]f_k'(x) =kx^2-2kx+1[/tex]

2)

a) Résoudre [tex]kx^2-2kx+1 = 0[/tex]

Discriminant = [tex]4k^2-4k=4k(k-1)[/tex]

si discriminant est négatif il n y a pas de solution

si le discriminant est nul il y a une solution [tex]x_0=\frac{2k}{2k} =1[/tex]

si le discriminant est positif il y a deux solutions x_1 et x_2

[tex]x_2 = \frac{2k+\sqrt{4k(k-1)}}{2k} = 1 + \frac{\sqrt{k(k-1)}}{k} = 1 + \sqrt{\frac{k-1}{k}}[/tex]

[tex]x_1 = \frac{2k-\sqrt{4k(k-1)}}{2k} = 1 - \sqrt{\frac{k-1}{k}}[/tex]

Nous pouvons écrire le tableau de signe du discriminant

k       -      0      +      1      +          

k-1     -      -1     -      0      +

4k(k-1) +      0      -      0      +

De ce fait pour k dans [tex]]-\infty;0[[/tex]

il y a deux solutions [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex]

pour k dans ]0;1] il n'y a pas de solution

pour k dans [tex][1;+\infty[[/tex] il y a deux solutions [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex]

b)

pour k dans ]0;1]

[tex]f_k'(x)[/tex] est du signe de k, donc est positive

pour k = 1 [tex]f_1'(x)=x^2-2x+1 = (x-1)^2[/tex]

[tex]f_1'(x) >= 0[/tex]

Enfin pour k>=1

x              x_1           x_2      

[tex]f_k'(x)[/tex]  +      0      -      0      +

pour k <=0

x              x_1           x_2      

[tex]f_k'(x)[/tex]  -      0      +      0      -

c)

pour k dans ]0;1]

[tex]f_k'(x)[/tex] est du signe de k, donc est positive

[tex]f_k[/tex] est croissante

Enfin pour k>=1

x              x_1           x_2      

[tex]f_k'(x[/tex])  +      0      -      0      +

[tex]f_k[/tex]  croissante  décroissante   croissante

pour k <=0

x                     x_1           x_2      

[tex]f_k[/tex]     décroissante   0 croissante  0  décroissante