Bonjour à tous, pourriez vous m'aider svp grosse difficulté merci beaucoup par avance

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour,

exo 94

sur [tex][1;+\infty[[/tex]

[tex]f(x)=4\sqrt{x} - x -4[/tex]

a)  

pour tous réels x supérieur a 1

[tex]f'(x)=\frac{4}{2\sqrt{x}}-1[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-1[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}[/tex]

c'est ce qu'il fallait démontrer

b)

f'(x) = 0 pour [tex]\sqrt{x}=2[/tex]

donc x = 4

pour 1 <= x <= 4 f'(x) >= 0

pour x >= 4 f'(x) <= 0

donc f est croissante sur [1;4]

et décroissante sur [tex][4;+\infty[[/tex]

c)

De ce fait, f atteint son maximum en x = 4 sur [tex][1;+\infty[[/tex]

et [tex]f(4) = 4*\sqrt{4}-4-4 = 8-8 = 0[/tex]

d)

Ainsi f(x) <= 0 pour x >=1

Exo 95

1)

f est dérivable sur R car c'est une fonction polynomiale

et pour tout x réels

[tex]f'(x)= 3x^2-48[/tex]

f'(x) = 0 donne [tex]x^2 = 48/3 = 16[/tex]

soit x = -4 ou x = 4

Donc pour x <= -4, f'(x) >= 0, f croissante

pour -4 <= x <= 4, f'(x) <= 0, f décroissante

pour x >= 4, f'(x) >=0, f croissante

2)

a) f(-8)= 512 - 384 + 128 = 0

b) Nous cherchons les x réels tels que [tex]x^3 > 48x-128[/tex] ce qui s'écrit aussi

f(x) > 0

D'après les variations de la fonction f comme f(-2) = 216 et f(2)= 40 et f(-8)=0

Donc f(x) > 0 pour x > -8