Bonjour, quelqu’un peut m’aider pour cet exercice sur les fonctions exponentielle svp? Merci d’avance

Réponse :

bonsoir

Partons de la fonction f(x)=x+1+x/e^x;   e^ x étant toujours >0 f(x) est définie sur R

sa dérivée f'(x)=1+(e^x-x*e^x)/e^2x=(e^2x+e^x-x*e^x)/e^2x=e^x(e^x +1-x)/e^2x

après implification par e^x il reste f'(x)=(e^-x)(1-x+e^x).

comme e^-x est >0 le signe de f'(x) dépend donc du signe de 1-x+e^x

pour obtenir le signe de cette expression on va étudier la fonction auxilaire g(x)=1-x+e^x

Explications étape par étape

A) étude de g(x)=1-x+e^x

Df=R

limites  si x tend vers -oo,  g(x) tend vers +oo (car e^x tend vers0)

si x tend vers +oo, g(x) tend vers+oo  (croissance comparée entre x et e^x)

Dérivée g'(x)=-1+e^x  elle s'annule pour x=0

Tableau de signes de g'(x) et de variation de g(x)

x..   -oo                                    0                           +oo

g'(x)  ................-.........................0.............+..................

g(x) +oo........décroi..............g(0)........croi..............+oo

Comme g(0)=2 De ceci on déduit que g(x) est toujours >0

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B) revenons à notre fonction f(x) on a vu que le signe de f'(x) est le même que celui g(x) par conséquent f(x) est croissante surR

calculons les limites

si x tend vers -oo , f(x) tend vers -oo+(-oo/0+)=-oo

si x tend vers +oo, f(x) tend vers+oo+1+0=+oo

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x   -oo                                             +oo

f'(x)...........................+.................................

f(x)-oo............croissante.........................+oo

Equation de la tangent au point d'abscisse x=0

On applique la formule y=f(0)(x-0)+f(0)=2x+1