Bonjour pouvez-vous m'aider j'au un DM a faire mais je ne comprend rien . La boîte en métal Afin de conserver des friandises pour les commercialiser, on souhait
Question
La boîte en métal
Afin de conserver des friandises pour les commercialiser, on souhaite construire des boîtes en métal de forme cylindrique de contenance 1 L.
Pour cela, on étudie le patron de cette boîte, composée d'un rectangle et de deux disques ( l'un pour le fond, l'autre pour le couvercle).
On note r le rayon de la boite et h sa hauteur.
Quels sont le rayon r et la hauteur h de cette boîte permettant d'utiliser une quantité de métal minimale? On donnera les résultats sous forme de valeurs approchées à 10^-2 prés.
Expliquer le raisonnement.
Merci d'avance.
1 Réponse
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1. Réponse Bernie76
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Il nous faut l'aire totale de cette boîte.
On va d'abord exprimer h en fonction de "r".
Volume de cette boîte=pi*r²*h=1 dm³ (avec "r" en dm)
Donc : h=1/pi*r² ( h en dm)
Longueur de la partie rectangulaire du patron=périmètre du cercle=2*pi*r
Aire de la partie rectangulaire=2*pi*r*h=2pi*r*/(pi*r²)
On simplifie par "r" et "pi".
Aire rectangle=2/r
Aire des deux cercles=2*pi*r²
Aire totale=A(r)=2*pi*r²+2/r
On va chercher le minimum de la fct A(r).
A '(r)=4pi*r-2/r²
A '(r)=(4pi*r³-2) / r²
A '(r) est du signe de : 4pi*r³-2=2(2pi*r³-1)
donc du signe de : 2pi*r³-1.
La fct cube f(x)=ax³ avec a > 0 est croissante.
2*pi*r³-1=0 donne :
r³=1/(2*pi)
r³ ≈ 0.159155
r ≈ ∛0.159155
r ≈ 0.5419
Donc A '(x) < 0 sur [0;0.5419] puis > 0 ensuite.
x--------->0........................0.5419.....................+inf
A '(x)---->..............-.............0................+.................
A (x)------>............D.............?.................C................
D=flèche qui descend.
C=flèche qui monte.
L'aire est minimale pour r≈ 0.5419 dm soit r≈ 5.42 cm
et h=1/(pi*0.55419)²≈ 1.0840 dm soit h ≈ 10.84 cm.