Exercice : résoudre une équation trigonométrique Terminale S nombre complexe Merci de votre aide

Bonjour,

a) e^(ix) = cos(x) + i(sin(x)

Forme algébrique :

Z =  (√3/2 - i/2)e^(ix)

= (√3/2 - i/2)(cos(x) + i(sin(x))

= √3/2 * cos(x) + 1/2 * sin(x) + [√3/2 * sin(x) - 1/2 * cos(x)]i

Forme exponentielle :

cos(-π/6) = √3/2 et sin(-π/6) = -1/2

⇒ (√3/2 - i/2) = e^(iπ/6)

⇒ Z = e^(iπ/6) x e^(ix) = e^i(x + π/6)

b) (E) : √3cos(x) + sin(x) = √2

⇔ √3/2 * cos(x) + 1/2 * sin(x) = √2/2

Z = R + Ii avec R partie réelle et I partie imaginaire de Z

Or : R = √3/2 * cos(x) + 1/2 * sin(x)

(E) ⇔ R = √2/2

Or : Z = e^i(x + π/6)

⇒ R = cos(x + π/6)

Donc : (E) ⇔ cos(x + π/6) = √2/2

⇔ cos(x + π/6) = cos(π/4)

⇒ x + π/6 = π/4 + k2π      

ou x + π/6 = -π/4 + k2π

⇔ x = 3π/12 - 2π/12 + k2π

ou x = -3π/12 - 2π/12 + k2π

⇔ x = π/12 + k2π ou x = -5π/12 + k2π

A restreindre sur }-π; π]...