Bonjour, (niveau bac+1) J'ai besoin de votre pour cet exercice s'il vous plaît. MERCI D'AVANCE

Enfin de l'algèbre linéaire.

1. On va écrire E sous la forme d'un Vect, pour celà résolvons son équation polynomiale.

Soit P∈R⁴[X]. On a:

{P(1)+P(-1) = 0

{P(2)+P(-2) = 0

⇔

{2a₀ + 2a₂ + 2a₄ = 0

{2a₀ + 8a₂ + 32a₄ = 0

⇔

{a₀ + a₂ + a₄ = 0

{       a₂ + 5a₄ = 0

⇔

{a₀          -4a₄ = 0

{       a₂ + 5a₄ = 0

⇔

{a₀ =  4a₄

{a₂ = -5a₄

Donc E = Vect[X, X³, 4-5X²+X⁴] E est donc un sev de R⁴[X] donc c'est un ev.

2. P∈E ⇔ P(1)+P(-1)=0 et P(2)=P(-2) ⇔

{a₀ =  4a₄

{a₂ = -5a₄.

(Je ne suis pas sur de comprendre cette question elle est un peu chelou)

3. Soit B = (X, X³, 4-5X²+X⁴), B est génératrice de E et est libre (polynome de degré échelloné) c'est donc une base de E.