Bonjour, pouvez-vous m’aider à résoudre cet exercice s’il vous plaît? Merci par avance.

Réponse :

Un = - n²/(n - 1)    pour tout entier naturel n ≥ 2

a) pour tout n ∈ N, avec n ≥ 2,  vérifier que:  Un+1 - Un = - n² + n + 1/n(n- 1)

      Un+1 - Un = - (n+1)²/(n + 1 - 1) - ( - n²/(n - 1))

                       = - (n²+2 n + 1)/n) + n²/(n-1)

                       = (- n²- 2 n - 1)/n +  n²/(n-1)

                       = [(n - 1)(- n² - 2 n - 1) + n³]/n(n-1)

                       = (- n³ - 2 n² - n + n² + 2 n + 1 + n³)/n(n-1)

                       = (- n² + n + 1)/n(n-1)

b) en déduire la monotonie de (Un)

Un+1 - Un =   (- n² + n + 1)/n(n-1)

                = - (n² - n - 1)/n(n-1)   pour n ≥ 2  on a n² - n - 1 > 0 et n(n- 1) > 0

               donc - (n² - n - 1)/n(n-1) < 0

donc  Un+1 - Un < 0   ⇔ la suite (Un) est strictement décroissante        

Explications étape par étape