a.Soit (RS)un diametre d'un cercle de centre O de rayon 4,5cm. T est un point de ce cercle tel que RT=6cm. Quelle est la nature du triangle RST?En deduire la di

Proposition de résolution :
1°) Soit un cercle de centre O et de rayon 4,5 cm et [RS] un diamètre de ce cercle. Placer un point T sur le cercle tel que RT = 6 cm. Quelle est la nature du triangle RST ? En déduire la longueur ST (arrondir au mm)
Calculer TS grâce au théorème de Pythagore
RS² = RT² + TS²
9² = 6² + TS²
81 = 36 + TS²
81-36 = TS²
[tex] \sqrt{45} [/tex] = TS
TS = [tex]3 \sqrt{5} [/tex] ≈ 6,71cm

2°) La médiane issue de S dans le triangle RST coupe [OT] en G et [RT] en I. Que peut–on dire du point G pour le triangle RST ? En déduire la distance TG.
Pour le triangle RST rectangle en T,  la médiane SI issue de S coupe la médiane TO issue de T et se coupent en G, centre de gravité du triangle RST, qui vérifie l'égalité suivante OG = [tex] \frac{OT}{3} [/tex] et IG = [tex] \frac{IG}{3} [/tex]
TG = [tex] \frac{OT}{3} [/tex] = [tex] \frac{4,5 * 2}{3} [/tex] = [tex] \frac{9}{3} [/tex]
TG mesure 3 cm ;
On peu en déduire que OG = TO - TG = 4,5 - 3 = 1,5 ;
OG mesure 1,5 cm.

3°) La parallèle à la droite (RS) passant par G coupe [RT] en J et [TS] en K. Calculer les longueurs TJ et JK.
(JK) et (RS) étant parallèles,on applique le théorème de Thalès:
[tex] \frac{TR}{TJ} = \frac{TS}{TK} = \frac{RS}{JK} = \frac{TO}{TG}[/tex]
Je remplace par les valeurs que je connais :
[tex] \frac{TO}{TG} = \frac{4,5}{3} [/tex]
[tex] \frac{RS}{JK} [/tex]= [tex] \frac{9}{JK} [/tex]
d'où JK = [tex] \frac{9*3}{4,5} [/tex] = 6 cm
JK = 6 cm

[tex] \frac{TR}{TJ} = \frac{6}{TJ} [/tex]
[tex] \frac{RS}{JK} = \frac{9}{6} [/tex]
TJ = [tex] \frac{6*6}{9} [/tex] = [tex] \frac{36}{9} [/tex] = 4 cm
TJ = 4 cm

4°) La perpendiculaire à la droite (RS) passant par I coupe la droite (ST) en H Démontrer que les droites (RH) et (IS) sont perpendiculaires.
RT, hauteur du triangle RHS issue de R et perpendiculaire à HS en T (pied de la hauteur)
SI, hauteur du triangle RHS issue de S et perpendiculaire à RH
Les deux hauteurs du triangle RHS sont concourantes en I qui est par conséquent l'orthocentre de RHS.
==> H passe par le point I, donc la droite (HI) est une hauteur du triangle RHS et est donc perpendiculaire à RS,
 ==> on peut en déduire que (HI) et (TO) sont parallèles et perpendiculaires à un même segment [RS]