Bonjour, J’ai un exercice sur les suites à faire mais je suis déjà bloquée à la question 2)b. Pouvez-vous m’aider et surtout bien m’expliquer les étapes et non

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

La suite [tex](u_n)[/tex] est définie par son premier terms [tex]u_0[/tex] = 2 et

par une relation de récurrence qui permet de connaitre [tex]u_{n+1}[/tex] à partir de [tex]u_n[/tex]

[tex]u_{n+1} = \frac{1}{5}u_n+3*(0.5)^n[/tex]

1)

a)

Nous allons commencer par calculer ses premiers termes

[tex]u_0[/tex] = 2

[tex]u_1 = \frac{1}{5}u_0+3*(0.5)^0[/tex]

[tex]u_1 = \frac{1}{5} 2 + 3[/tex] mettons sur le même dénominateur

[tex]u_1 = \frac{2+3*5}{5}[/tex]

[tex]u_1 = \frac{17}{5}[/tex]

Et on continue pour [tex]u_2[/tex], [tex]u_3[/tex] etc

En utilisant la calculatrice cela donne

0 2

1 3.4

2 2.18

3 1.186

4 0.6122

5 0.30994

6 0.155738

7 0.0780226

8 0.03904202

b)

Nous pouvons remarquer que les termes de [tex]u_n[/tex] deviennent de plus en plus petits

Il semblerait que la suit est convergente vers 0

2)

a)

Comme il est écrit que ce résultat est admis on va l'utiliser tel quel

pour info, Imaginons une route avec des arbres tout le long de la route

si je te demande  

1- de peindre le premier arbre en blanc

2- si jamais un arbre est blanc alors le suivant doit être blanc

Quelle sera la couleur des tous les arbres de cette route?

C'est le principe du raisonnement par récurrence que tu verras en Terminale

Nous pouvons de ce fait remarquer que

pour n = 1 a [tex]u_1[/tex] = 3.4 >= 15/4 = 3.75 donc c'est vrai pour n = 1

et si [tex]u_n >= \frac{15}{4}(0.5)^n[/tex] (ce qui revient a supposer que c'est vrai au rang n)

[tex]u_n+1 = \frac{1}{5}u_n+3*(0.5)^n >= \frac{15}{4*5}(0.5)^n+3*(0.5)^n[/tex]

Or

[tex]\frac{3}{4}(0.5)^n+3*(0.5)^n = \frac{3+3*4}{4}(0.5)^n[/tex]

[tex]= \frac{15}{4}(0.5)^n[/tex]

or 0.5 < 1 donc [tex](0.5)^n > (0.5)^{n+1}[/tex]

d'ou [tex]u_{n+1} >= \frac{15}{4}(0.5)^{n+1}[/tex] (cela reste vraie au rang n+1 )

b)

[tex]u_{n+1}-u_n = \frac{1}{5}u_n + 3(0.5)^n - u_n[/tex]

[tex]= \frac{1-5}{5}u_n + 3(0.5)^n[/tex]  

[tex]= -\frac{4}{5}u_n + 3(0.5)^n[/tex]

or [tex]u_n >= \frac{15}{4}(0.5)^n[/tex]

donc

[tex]u_n+1-u_n <= -\frac{4}{5}\frac{15}{4}(0.5)^n + 3(0.5)^n[/tex]

or

[tex]-\frac{4}{5}\frac{15}{4}(0.5)^n + 3(0.5)^n[/tex]

[tex]= -3(0.5)^n + 3(0.5)^n = 0[/tex]

Donc la suite (u_n) est décroissante

et comme on peut facilement prouver par récurrence que tous ces termes sont positifs

donc la suite (u_n) est convergente (ce que tu verras en Terminale)

3)

a)

[tex]v_n = u_n-10(0.5)^n[/tex]

[tex]v_0 = u_0 -10 (0.5)^0= 2 -10 = -8[/tex]

[tex]v_{n+1} = u_{n+1} -10(0.5)^{n+1}[/tex]

[tex]= \frac{1}{5}u_n + 3(0.5)^n -10(0.5)(0.5)^n[/tex]

[tex]= \frac{1}{5} ( u_n + (15 - 5*5) (0.5)^n )[/tex]

[tex]= \frac{1}{5} ( u_n + (15 - 25) (0.5)^n )[/tex]

[tex]= \frac{1}{5} ( u_n + (- 10) (0.5)^n )[/tex]

[tex]= \frac{1}{5} ( u_n - 10(0.5)^n )[/tex]

[tex]= \frac{1}{5} ( v_n )[/tex]

comme le rapport [tex]\frac{v_n+1}{v_n}[/tex]est constant il s'agit d'une suite géométrique

de raison [tex]\frac{1}{5}[/tex]

b)

Appliquons les résultats du cours

[tex]v_n = v_0 (\frac{1}{5})^n = -8(\frac{1}{5})^n[/tex]

De ce fait [tex]u_n = v_n + 10(0.5)^n = -8(\frac{1}{5})^n + 10(0.5)^n[/tex]

d)

la limite de [tex](u_n)[/tex] est donc 0 quand n tend vers l infini

4)

Je ne vois pas les lignes (1) (2) (3)

reposes la suite de la question si besoin